Kapitel 1: Bruchrechnung (S. 9)

Aufgabe 1

(a) \(\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{2}{15}\)

(b) \(\displaystyle\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{15}=\frac{5\cdot 2}{8\cdot 15}=\frac{10}{120}\) \(\displaystyle=\frac{1}{12}\)

(c) Dank des Assoziativgesetzes dürfen wir uns aussuchen welches der beiden Produkte wir zuerst berechnen. Wir wählen das Erste und erhalten:

\(\displaystyle\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{9}\cdot\frac{6}{5}=\left(\frac{3}{7}\cdot\frac{14}{9}\right)\cdot\frac{6}{5}=\frac{3\cdot 14}{7\cdot 9}\cdot\frac{6}{5}\) \(\displaystyle=\frac{42}{63}\cdot\frac{6}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{5}=\frac{2\cdot6}{3\cdot 5}\) \(\displaystyle=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\)

Aufgabe 2

(a) Der Kehrwert von \(\displaystyle5=\frac{5}{1}\) ist \(\displaystyle\frac{1}{5}\) und somit

\(\displaystyle\frac{10}{9}:5=\frac{10}{9}\cdot\frac{1}{5}=\frac{10\cdot1}{9\cdot 5}\) \(\displaystyle=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}\,.\)

(b) \(\displaystyle\frac{24}{21}:\frac{3}{14}=\frac{24}{21}\cdot\frac{14}{3}=\frac{24\cdot14}{21\cdot 3}\) \(\displaystyle=\frac{336}{63}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}\)

(c) \(\displaystyle\left(\frac{13}{35}:\frac{8}{15}\right)\cdot\frac{7}{3}=\left(\frac{13}{35}\cdot\frac{15}{8}\right)\cdot\frac{7}{3}=\frac{13\cdot15}{35\cdot 8}\cdot\frac{7}{3}\) \(\displaystyle=\frac{195}{280}\cdot\frac{7}{3}=\frac{39}{56}\cdot\frac{7}{3}=\frac{39\cdot7}{56\cdot3}\) \(\displaystyle=\frac{273}{168}=\frac{13}{8}=1\frac{5}{8}\)

Aufgabe 3

(a) Zunächst folgt mit dem Distributivgesetz:

\(\displaystyle\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{6}{5}=\frac{3}{8}\cdot\frac{6}{5}-\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}=\frac{3\cdot6}{8\cdot 5}-\frac{1\cdot 6}{3\cdot 5}\) \(\displaystyle=\frac{18}{40}-\frac{6}{15}=\frac{9}{20}-\frac{2}{5}=\frac{9}{20}-\frac{8}{20}\) \(\displaystyle=\frac{1}{20}\,.\)

Führen wir zunächst die Subtraktion durch, erhalten wir natürlich dasselbe Ergebnis:

\(\displaystyle\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{6}{5}=\left(\frac{9}{24}-\frac{8}{24}\right)\cdot\frac{6}{5}=\frac{1}{24}\cdot\frac{6}{5}\) \(\displaystyle=\frac{1\cdot 6}{24\cdot 5}=\frac{6}{120}=\frac{1}{20}\,.\)

(b) Das Distributivgesetz führt hier zu

\(\displaystyle\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{3}\right)\) \(\displaystyle=1\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{3}\right)\) \(\displaystyle=1\cdot\frac{3}{5}-1\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\) \(\displaystyle=\frac{3}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1\cdot3}{4\cdot5}-\frac{1\cdot1}{4\cdot3}\) \(\displaystyle=\frac{3}{5}-\frac{1}{3}+\frac{3}{20}-\frac{1}{12}\) \(\displaystyle=\frac{36}{60}-\frac{20}{60}+\frac{9}{60}-\frac{5}{60}\) \(\displaystyle=\frac{36-20+9-5}{60}\) \(\displaystyle=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\,.\)

Berechnen wir zuerst die Differenz bzw. die Summe geht es etwas schneller:

\(\displaystyle\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{3}\right)\) \(\displaystyle=\left(\frac{4}{4}+\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{9}{15}-\frac{5}{15}\right)\) \(\displaystyle=\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{15}=\frac{5\cdot 4}{4\cdot 15}=\frac{20}{60}\) \(\displaystyle=\frac{1}{3}\,.\)