Kapitel 1: Bruchrechnung (S. 7)

Aufgabe 1

(a) Wir erweitern die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Da das kleinste gemeinsame Vielfache von 8, 4 und 5 gerade 40 ist, wählen wir dies als Hauptnenner. Es sind

\(\displaystyle\frac{1}{8}=\frac{1\cdot5}{8\cdot5}=\frac{5}{40}\,,\quad \) \(\displaystyle\frac{3}{4}=\frac{3\cdot10}{4\cdot10}=\frac{30}{40}\,,\quad \) \(\displaystyle\frac{4}{5}=\frac{4\cdot8}{5\cdot8}=\frac{32}{40}\,, \)

und somit die Brüche bereits in der richtigen Reihenfolge geordnet.

(b) Negative Zahlen sind natürlich kleiner als positive; also sind auch negative Brüche kleiner als positive. Wir müssen also nur noch die Brüche \(\displaystyle-\frac{7}{12}\) und \(\displaystyle-\frac{3}{5}\), sowie \(\displaystyle\frac{2}{3}\) und \(\displaystyle\frac{5}{9}\) vergleichen. Wegen

\(\displaystyle-\frac{7}{12}=\frac{-7}{12}=\frac{-7\cdot5}{12\cdot5}=\frac{-35}{60}\,,\quad \) \(\displaystyle-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}=\frac{-3\cdot12}{5\cdot12}=\frac{-36}{60}\,,\quad \) \(\displaystyle\frac{2}{3}=\frac{2\cdot3}{3\cdot3}=\frac{6}{9}\,, \)

ist die richtige Reihenfolge

\(\displaystyle-\frac{3}{5}\,,\;-\frac{7}{12}\,,\;\frac{5}{9}\,,\;\frac{2}{3}\,.\)

Aufgabe 2

(a) \( \displaystyle\frac{2}{5}+\frac{3}{10}=\frac{2\cdot 2}{5\cdot 2}+\frac{3}{10}=\frac{4}{10}+\frac{3}{10}\)\(\displaystyle=\frac{4+3}{10}=\frac{7}{10}\)

Das Ergebnis lässt sich nicht weiter kürzen.

(b) \( \displaystyle\frac{11}{10}-\frac{3}{8}=\frac{11\cdot 4}{10\cdot 4}-\frac{3\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{44}{40}-\frac{15}{40}\)\(\displaystyle=\frac{44-15}{40}=\frac{29}{40}\)

(c) \( \displaystyle\frac{6}{7}+\frac{3}{4}=\frac{6\cdot 4}{7\cdot 4}+\frac{3\cdot7}{4\cdot 7}=\frac{24}{28}+\frac{21}{28}\)\(\displaystyle=\frac{24+21}{28}=\frac{45}{28}\)

Das Ergebnis lässt sich nicht weiter kürzen.

Aufgabe 3

(a) \(\displaystyle3+\frac{2}{5}-\frac{1}{15}=\frac{3}{1}+\frac{2}{5}-\frac{1}{15}=\frac{45}{15}+\frac{6}{15}-\frac{1}{15}\) \(\displaystyle=\frac{45+6-1}{15}=\frac{50}{15}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}\)

(b) \(\displaystyle-\frac{7}{2}-\frac{2}{3}+\frac{3}{8}=-\frac{84}{24}-\frac{16}{24}+\frac{9}{24}=\frac{-84-16+9}{24}=\frac{-91}{24}\) \(\displaystyle=-3\frac{19}{24}\)

(c) \(\displaystyle\frac{2}{5}-\frac{1}{9}+\frac{5}{3}=\frac{18}{45}-\frac{5}{45}+\frac{75}{45}=\frac{18-5+75}{45}=\frac{88}{45}\) \(\displaystyle=1\frac{43}{45}\)