Kapitel 5: Gleichungen und Gleichungssysteme (S. 67)

Aufgabe 1

Hier hat sich leider der Fehlerteufel eingeschlichen: statt \(x^2-4x=y^2\) muss es \(x^2-4x=-y^2\) sein.

Setzen wir nun die Gerade mit \(-y=x-b\) in diese Kreisgleichung ein, erhalten wir wegen

\(-y=x-b\;\Longleftrightarrow\;y=b-x\)

die Gleichung

\(\begin{alignat*}{3}&&x^2-4x&=-(b-x)^2\qquad&&|\;2.\text{ bin. Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x&=-(b^2-2bx+x^2)\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2-4x=-x^2+2bx-b^2\qquad&&|;+x^2-2bx+b^2\\&\Longleftrightarrow\quad&2x^2+2(b-2)x+b^2&=0&&|\;:2\\&\Longleftrightarrow\quad&x^2+(b-2)x+\frac{b^2}{2}&=0&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{b-2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b-2}{2}\right)^2-\frac{b^2}{2}}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{b-2}{2}\pm\sqrt{\frac{(2-b)^2-2b^2}{4}}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=-\frac{b-2}{2}\pm\sqrt{\frac{4-4b-b^2}{4}}\,.&&\end{alignat*}\)

Nun ist die Gerade eine

(c) Tangente, falls diese Gleichung genau eine Lösung besitzt, die Diskriminante \(\mathcal{D}\) also null ist. Da

\(\begin{alignat*}{3}&&\mathcal{D}&=\frac{4-4b-b^2}{4}=0\qquad&&|\;\cdot -4\\&\Longleftrightarrow\quad&b^2+4b-4&=0\qquad&&|\;p-q-\text{Formel}\\&\Longleftrightarrow\quad&b&=-\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2+4}\qquad&&\\&\Longleftrightarrow\quad&b&=-2\pm\sqrt{8}&&\,,\end{alignat*}\)

ist die Gerade also eine Tangente, wenn \(b=-2+\sqrt{8}\) oder \(b=-2-\sqrt{8}\).

(b) Sekante, falls diese Gleichung zwei Lösungen besitzt, die Diskriminante \(\mathcal{D}\) also positiv ist. Da der Graph von \( 4-4b-b^2\) eine nach unten geöffnete Parabel ist (vgl. Kapitel 8), die nach obiger Rechnung bei \(b=-2+\sqrt{8}\) und \(b=-2-\sqrt{8}\) Nullstellen hat, ist

\(\mathcal{D}=\frac{4-4b-b^2}{4}>0\;\Longleftrightarrow\;-2-\sqrt{8}<b<-2+\sqrt{8}\)

und somit die Gerade für b zwischen \(-2-\sqrt{8}\) und \(b=-2+\sqrt{8}\) eine Sekante.

(c) Passante, falls die Gleichung keine Lösung besitz, die Diskriminante \(\mathcal{D}\) also negativ ist. Nach den bisherigen Ergebnis gilt das für alle b die größer als \(-2+\sqrt{8}\) oder kleiner als \(-2-\sqrt{8}\) sind.

Aufgabe 2

(a) Wir setzen die Gleichung der Geraden in die Kreisgleichung ein und erhalten

\(\begin{alignat*}{3}&&1^2+(y-4)^2&=4\qquad&&|\;-1\\&\Longleftrightarrow\quad&(y-4)^2&=3&&|\;\sqrt{\;}\\&\Longleftrightarrow\quad &|y-4|&=\sqrt{3}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&y-4=-\sqrt{3}\;\,&\vee\;\,y-4=\sqrt{3}&&\\&\Longleftrightarrow\quad&y=4-\sqrt{3}\;\,&\vee\;\,y=4+\sqrt{3}&&\end{alignat*}\)

Da durch die Gerade die x-Koordinate auf 3 festgesetzt ist, erhalten wir die beiden Schnittpunkte \(S_{1}(3|4-\sqrt{3})\) und \(S_{2}(3|4+\sqrt{3})\).

(b) Für die Tangenten die in diesen Schnittpunkten anliegen, haben wir zunächst nur einen Punkt (nämlich gerade den jeweiligen Schnittpunkt). Darüber hinaus stehen Tangenten aber auch immer senkrecht zum Radius des Kreises. Für diesen Radius können wir mit dem jeweiligen Schnittpunkt und dem Mittelpunkt \(M(2|4)\) des Kreises die Steigung \(m_{r}\) bestimmen:

für den Schnittpunkt \(\displaystyle S_{1}:\qquad m_{r}=\frac{(4-\sqrt{3})-4}{3-2}=-\sqrt{3}\,.\)
für den Schnittpunkt \(\displaystyle S_{2}:\qquad m_{r}=\frac{(4+\sqrt{3})-4}{3-2}=\sqrt{3}\,.\)

Für die Steigung \(m_{t}\) der Tangente gilt nun, dass \(\displaystyle m_{t}=-\frac{1}{m_{r}}\), also

für den Schnittpunkt \(\displaystyle S_{1}:\qquad m_{t}=-\frac{1}{-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\,.\)
für den Schnittpunkt \(\displaystyle S_{2}:\qquad m_{t}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\,.\)

Da jede Tangente eine Gerade ist, also die Form \(y=m_{t}x+b\) hat, können wir mit obigen Informationen bereits die Gleichungen aufstellen.

für den Schnittpunkt \(\displaystyle S_{1}:\;y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x+b\). Setzen wir nun den Punkt ein, folgt

\(\displaystyle 4-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+b\;\Longleftrightarrow\;b=4-2\sqrt{3}\,.\)

Also hat die Tangente im Punkt \(\displaystyle S_{1}\) die Gleichung \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x+(4-2\sqrt{3})\,.\)

für den Schnittpunkt \(\displaystyle S_{2}:\;y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x+b\). Setzen wir nun den Punkt ein, folgt

\(\displaystyle 4+\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+b\;\Longleftrightarrow\;b=4+2\sqrt{3}\,.\)

Also hat die Tangente im Punkt \(S_{2}\) die Gleichung \(y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x+(4+2\sqrt{3})\,.\)

\(\begin{alignat*}{3}&&-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x+(4+2\sqrt{3})&=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x+(4-2\sqrt{3})\qquad&&|\;-(4-2\sqrt{3})\\&\Longleftrightarrow\quad&-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x+4\sqrt{3}&=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x\qquad&&|\;\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}\\&\Longleftrightarrow\quad&-x+12&=x&&|\;-x-12\\&\Longleftrightarrow\quad&-2x&=-12&&|\;:(-2)\\&\Longleftrightarrow\quad&x&=6\,,&&\end{alignat*}\)

und nach Einsetzen in die erste Tangentengleichung:

\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot6+(4-2\sqrt{3})=2\sqrt{3}+4-2\sqrt{3}=4\,,\)

d.h. die beiden Tangenten schneiden sich im Punkt \(P(6|4)\).