Kapitel 3: Ein Blick in die Wahrscheinlichkeitsrechnung (S. 35)

Aufgabe 1

Für jedes Stellrad können wir aus den abgebildeten Symbolen eines auswählen. Das entspricht im Urnenmodell dem Ziehen von zwei Kugeln (zwei Stellräder) aus vier unterscheidbaren Kugeln (vier Symbole) wobei die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird und es natürlich auf die Reihenfolge ankommt (Pik, Herz ist eine andere Kombination als Herz, Pik). Somit gibt es insgesamt \(4^2=16\) mögliche Kombinationen von denen natürlich nur eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, die richtige Kombination zu erraten liegt also bei \(\displaystyle P=\frac{1}{16}=\frac{625}{10000}=6,25\)%.

Aufgabe 2

Diese Aufgabe entspricht dem Ziehen von 8 Kugeln aus einer Urne mit den beiden Kugeln 0 und 1, wobei die gezogene Kugel nach jedem Zug zurückgelegt wird. Natürlich ist dabei auf die Reihenfolge zu achten, da 10000000 ein anderes Ergebnis als 00000001 ist. Es gibt somit \(2^8=256\) verschiedene Bytes.

Aufgabe 3

(a) Zunächst einmal überlegen wir uns wieviele Möglichkeiten es für ein Autokennzeichen mit einem Buchstaben und zwei Ziffern gibt. Für den Buchstaben haben wir 26 Möglichkeiten (es gibt ja 26 Buchstaben im Alphabet), für die erste Ziffer 9 Möglichkeiten (0 an erster Stelle ist ja nicht erlaubt) und für die zweite Ziffer 10 Möglichkeiten. Insgesamt also gerade \( 26\cdot9\cdot10=2.340 \) Möglichkeiten.

• Bei einem Autokennzeichen mit einem Buchstaben und drei Ziffern gibt es schon \( 26\cdot9\cdot10^2=23.400\) mögliche Kombinationen.

• Sind im Autokennzeichen zwei Buchstaben und zwei Ziffern enthalten gibt es dafür \(26^2\cdot9\cdot10=60.840\) Möglichkeiten und

• bei drei Ziffern und zwei Buchstaben sind es \(26^2\cdot9\cdot10^2=608.400\).

Insgesamt gibt es also \(2.340+23.400+60.840+608.400=694.480\) Möglichkeiten.

Natürlich hätte man auch etwas schneller vorgehen können;

• Für die erste Stelle des Autokennzeichens gibt es 26 Möglichkeiten,

• für die zweite Stelle sind es 27 Möglichkeiten (26 für den Fall das es einen zweiten Buchstaben gibt und eben den Fall, dass es keinen zweiten Buchstaben gibt),

• an Stelle drei sind es 9 Möglichkeiten (die Ziffern 1,2,…,9),

• an vierter Stelle wieder 10 Möglichkeiten (die Ziffern 0,1,…,9) und

• an letzter Stelle 11 Möglichkeiten (die Ziffern 0,1,…,9, falls die dritte Ziffer vorhanden ist und eben zusätzlich die Möglichkeit, dass die dritte Ziffer nicht vorhanden ist.

Insgesamt somit \( 26\cdot27\cdot9\cdot10\cdot11=694.480\) Möglichkeiten.

(b) Darf ein Buchstabe höchstens einmal erscheinen ändert sich lediglich die Anzahl der Möglichkeiten fr die zweite Stelle des Autokennzeichens. Statt wie bisher 27 Möglichkeiten sind es nun nur noch 26 Möglichkeiten (die 25 Buchstaben, die noch nicht an erster Stelle stehen und zusätzlich die Möglichkeit, dass kein zweiter Buchstabe auftritt.). Es sind dann also \( 26\cdot26\cdot9\cdot10\cdot11=669.240\) Möglichkeiten.